相对双曲群的算法性质

如下论述受 Epstein 以及 Neumann/Reeves 关于双曲群工作的启发。Epstein 证明了几何有限双曲群是双自动的。Neumann/Reeves 证明了字双曲群的虚中心扩张是双自动的。我们证明如下推广：定理。设 $H$ 为几何有限双曲群。设 $\sigma \in H^2(H)$ 并假定 $\sigma$ 限制于 $H$ 的任一抛物子群 $P$ 上为零。则 $H$ 由 $\sigma$ 的扩张是双自动的。我们也证明 Epstein 结果的另一推广：定理。设 $G$ 相对于 $H$ 为双曲的，具有有界陪集穿透性质。设 $H$ 为具有前缀闭正规形式的双自动群。则 $G$ 是双自动的。基于这两个结果，作如下猜想是合理的（作者相信可通过第 1 节论证的简单推广证明）：设 $G$ 相对于 $H$ 为双曲的，其中 $H$ 具有前缀闭双自动结构。设 $\sigma \in H^2(G)$ 并假定 $\sigma$ 限制于 $H$ 上为零。则 $G$ 由 $\sigma$ 的扩张是双自动的。