双曲建筑物、仿射建筑物与自动群

我们看到一个 Coxeter 群为双曲的建筑物自身是双曲的。因此任何在此类建筑物上余紧作用的有限生成群是双曲的,从而是自动的。我们将注意力转向仿射建筑物,并考虑一个群 $\Gamma$,它在类型 $\tilde A_n$ 的局部有限厚建筑物顶点上单传递且以“类型旋转”方式作用。我们证明 $\Gamma$ 是双自动的,使用了 $\Gamma$ 的一个表示以及 $\Gamma$ 中每个元素的唯一正规形式,如 D.I. Cartwright 的“在类型 $\tilde A_n$ 建筑物顶点上单传递作用的群”(将发表于 1993 年 Como 会议“Lie 型群及其几何”论文集)所述。