Riemann-Hilbert 问题的自动形变及其在 Painlevé II 超越函数中的应用
数值分析
2013-01-31 v3
摘要
Olver 的配点法用于 Riemann-Hilbert 问题 (RHPs) 数值解的稳定性和收敛率，已知非常敏感地依赖于作为 RHP 数据所使用的特定轮廓选择。通过手动执行在 RHP 渐近分析（如非线性最速下降法）中被证明成功的轮廓形变，基本上可以对数值方法进行预处理，使其具有渐近稳定性。然而，在本文中，我们将展示大多数此类预处理形变（包括透镜变换）都可以以自动的、完全算法化的方式处理，从而将数值方法转化为黑盒求解器。为此，RHP 的预处理被重构为一个离散的、基于图的优化问题：形变后的轮廓被获取为平面图中的一组最短路径，该图的权重由跳跃矩阵的相对强度决定。该算法以代表 Painlevé II 超越函数的 RHP 为例进行了演示。
引用
@article{arxiv.1206.2446,
title = {Automatic Deformation of Riemann-Hilbert Problems with Applications to the Painlev\'e II Transcendents},
author = {Georg Wechslberger and Folkmar Bornemann},
journal= {arXiv preprint arXiv:1206.2446},
year = {2013}
}
备注
20 pages, 16 figures