多重流中的吸引子与吸引邻域

对于前向时间唯一性的动力系统，我们已经有了相当多的了解。事实上，流、半流以及映射（可逆与不可逆）都已被充分研究。一种被证明特别富有成果的观点是拓扑的：将不变集（吸引子、排斥子、周期轨道等）视为拓扑对象，它们之间的连接集构成类梯度流。在前向时间唯一性的系统中，一个系统中的吸引子与一族其他“足够接近”系统中的邻近吸引子相关联。看到这种联系的一种途径是通过 Conley 分解（以及 Conley 指标）[2]、[13]。这种方法需要聚焦于孤立不变集——即具有隔离邻域的不变集。如果存在一个不变集 $I$，它有一个隔离邻域 $N$ $\ldots$。在 [7] 和 [11] 中，这种方法被推广到缺乏前向时间唯一性的离散时间系统，使用的是关系。关系不依赖于前向时间唯一性，但任何映射的图都是一个关系；因此它们推广了映射。其中部分内容在接下来的几节中回顾。此外，我扩展了 [7] 中的工作，证明了在紧度量空间中，闭关系的吸引子可延拓（见第 6 节）。在连续时间方面，还需要做更多工作。本文是朝着缺乏前向时间唯一性的连续时间系统更系统化方法的一步。该工作适用于 Filippov 系统 [4] 和控制理论 [12]。在以下页面中，我们建立了一个工具（多重流）来讨论连续时间情形，并发展了一个理解这些系统中吸引子（从而稳定性）的框架。这项工作的一个关键部分是建立吸引子/吸引邻域对，这发生在第 5.5 节。