$t$ 设计曲线的渐近短 generalizations

Ehler 和 Gr"{o}chenig 提出了一个问题：寻找 $t$ 设计曲线 $\gamma_t$--曲线，其相关线积分在 $S^d$ 上对所有最高至 $t$ 多项式的平均值恰好等于 asymptotically optimal 弧长 $\ell(\gamma_t)\asymp t^{d-1}$ 作为 $t\to\infty$。本文研究了这一问题的类比问题，即针对 $\textit{加权}$ 和 \textit{\varepsilon_t$-approximate$t-design curves}，证明了此类曲线 $\gamma_t$ 在 $S^d$ 上的弧长 $\ell(\gamma_t)\asymp t^{d-1}$ 作为 $t\to\infty$ 对所有 $d\in\Bbb N_+$ 在加权情况下（此时这些曲线是渐近最优的）以及所有奇数 $d\in\Bbb N_+$ 在近似情况下（其中我们有 $\varepsilon_t\asymp1/t$ 作为 $t\to\infty$）。给出 $d\in\{2,3\}$ 的加权 $t$ 设计曲线的公式。