基于向量球谐函数的快速 Clebsch-Gordan 张量积

$E(3)$ 等变神经网络在 3D 模型任务中证明效能良好。该网络的基本运算是张量积，它允许不同特征类型之间的相互作用。由于该运算规模不佳，已有大量工作致力于加速此相互作用。然而，最近 \citet{xieprice} 指出，大多数加速措施来自于降低表达性，而非真正的计算 Clebsch-Gordan 张量积的算法改进。对 Gaunt 张量积 \citep{gaunt} 的修改可提供真正的渐近加速，但该方法不完整，遗漏许多相互作用。在本工作中，我们提供了首个完整算法，真正为 Clebsch-Gordan 张量积提供渐近收益。对于完整 CGTP，我们将算法的运行复杂度从朴素的 $O(L^6)$ 降至 $O(L^4\log^2 L)$，接近下界 $O(L^4)$。我们首先展示，如何从标量信号推广至 irrep 价信号，形成张量球谐函数，自然导向此前提议的 Gaunt 张量积 \citep{gaunt}。为解决反对称性问题，我们从标量信号推广至 irrep 价信号，得到张量球谐函数。我们证明了张量球谐函数的广义 Gaunt 公式。最后，我们表明仅需向量价信号即可恢复 Gaunt 张量积遗漏的相互作用。