Gisin-Percival 态扩散的渐近谱稳定性

从复合双分量子系统纯态轨迹的 Gisin-Percival 态扩散方程出发，并利用混合态通过其施密特分解的纯化，我们写出了当子系统 $S$ 的初始态为混合态时，该双分系统中子系统 $S$ 混合态的量子轨迹扩散方程。将系统 $S$ 在时刻 $t$ 的扩散态记为 $\rho_t(\mathbf{B})$（对每个 $t\geq 0$），其中 $\mathbf{B}$ 是底层的复 $n$ 维向量值布朗运动过程，并利用伊藤微积分及归纳过程，我们得到了标量值矩过程 ${\rm Tr}[\rho_t^m( \mathbf{B})], \,\,\, m=2,3,\ldots$ 的随机微分，用 $d\,\mathbf{B}$ 和 $d\,t$ 表示。这表明每个过程 $\{{\rm Tr}[\rho_t^m( \mathbf{B})], t\geq 0\}$ 都允许一个 Doob-Meyer 分解，即一个鞅 $M^{(m)}_t(\mathbf{B})$ 与一个非负增过程 $S^{(m)}_t(\mathbf{B})$ 之和。这确保了对于每个 $m=2,\, 3,\, \ldots$，极限 $\underset{t\rightarrow\infty}{\lim}\, {\rm Tr}[\rho_t^m( \mathbf{B})]$ 关于布朗运动 $\mathbf{B}$ 的维纳概率测度 $\mu$ 几乎必然存在。特别地，当 $S$ 是一个有限能级系统时，$\rho_t (\mathbf{B})$ 的谱及其熵在 $t\rightarrow \infty$ 时几乎必然收敛到一个极限。在附录中，我们利用概率方法证明了一个技术性结果，该结果蕴含了可数无限能级系统谱的几乎必然收敛。