流形上条件扩散过程的模拟

迄今为止，大多数模拟条件扩散的方法仅限于欧几里得设定。条件过程可以使用一种称为 Doob $h$-变换的测度变换来构造。具体的条件类型取决于函数 $h$，该函数通常没有封闭形式。为解决这一问题，我们将引导过程的概念扩展到流形 $M$，其中用基于 $M$ 上热核的函数替换 $h$。我们考虑利用 $M$ 的标架丛构造的带漂移布朗运动，并使其条件化为在时间 $T$ 击中点 $x_T$。我们证明了条件过程与引导过程的定律等价，并具有可处理的 Radon-Nikodym 导数。随后，我们展示了如何在不假设知晓 $N$ 上热核的情况下，在任何与 $M$ 微分同胚的流形 $N$ 上获得引导过程。我们通过引导过程的数值模拟和基于离散时间观测的贝叶斯参数估计来说明我们的结果。为此，我们同时考虑了环面和 Poincar\'e 圆盘。