离散时间量子行走的渐近约化密度矩阵

本文中，我们证明对于任何具有 \textit{m} 维硬币子空间的量子行走者，存在一个 $m^2\times m^2$ 的特定常数矩阵 $\mathcal{C}$，它完全决定了行走者的渐近约化密度矩阵。我们证明，对于任何具有 $P_0$ 投影算符的初始态，约化密度矩阵可通过 $Tr_1\left(P_0\otimes I\;\mathcal{C}\right)$ 或等价地 $Tr_2\left(I\otimes P_0\;\mathcal{C}\right)$ 获得。值得一提的是，特征矩阵 $\mathcal{C}$ 独立于初始态，仅依赖于硬币算符，因此通过为特定类型的 QW 找到此矩阵，其长时间行为（例如长时间行走后硬币的局域态以及硬币与位置之间的渐近纠缠）对于任何初始态都将完全已知。我们已为一般硬币算符 $U\left(2\right)$ 找到了特征矩阵 $\mathcal{C}$，并给出了局域初始态下该矩阵的精确形式。