极大 $p$-核 $p'$-分区的渐近性质

对于素数 $p$，我们研究 $p$-核 $p'$-分区（即没有钩长或部分能被 $p$ 整除的分区）的最大可能尺寸。McDowell 最近证明了该最大值由唯一分区取得，记为 $\Lambda_p$。利用他对 $\Lambda_p$ 的图论描述，我们证明了对于 $p > 10^6$，$$\frac{1}{24}p^6 - p^5\sqrt{p} < |\Lambda_p| < \frac{1}{24}p^6 - \frac{1}{200}p^5\sqrt{p},$$ 这表明当 $p \to \infty$ 时 $|\Lambda_p| \sim p^6/24$。