渐近 Hausdorff 与语言相似性

我们引入了渐近 Hausdorff 提升（记为 $\mathbb{AH}_{d}$），这是一种将元素级度量 $d$ 提升为集合上（伪）度量的通用方法，用于捕获在具有大小概念的无穷域上的渐近相似性。该构造旨在对有限偏差不敏感，并避免经典基于 Hausdorff 方法的局限性，后者通常对异常值过于敏感且无法反映渐近行为。形式语言提供了该框架的核心动机实例，其中元素是字而集合是语言。当应用于归一化编辑距离时，渐近 Hausdorff 提升产生语言之间的度量值距离，这些距离反映了渐近编辑行为同时保留了度量结构。我们研究了由 $\mathbb{AH}_{d}$ 针对归一化编辑距离 $d$ 诱导的正则语言的等价类，并刻画了它们的渐近本质。特别关注 Marzal 和 Vidal 的归一化编辑距离 $\textsf{ned}$，我们研究了正则语言和有界上下文无关语言的 $\mathbb{AH}_{\textsf{ned}}$ 计算。