几何散射理论中识别算子的渐近等价性

给定可测空间 $X$ 上的两个测度 $\mu_1$ 和 $\mu_2$，满足 $d\mu_2=\rho_{1,2} \, d\mu_1$，其中 $\rho_{1,2}:X\to (0,\infty)$ 为某有界可测函数，则存在两个自然的识别算子 $J_{1,2},\tilde{J}_{1,2}:L^2(X,\mu_1)\to L^2(X,\mu_2)$，即酉算子 $J_{1,2}\psi:=\psi/\sqrt{\rho_{1,2}}$ 和平凡算子 $\tilde{J}_{1,2}\psi:=\psi$。给定 $L^2(X,\mu_j)$ 上的自伴半有界算子 $H_j$，$j=1,2$，我们在拓扑背景下证明了一个自然准则，用于判定两个希尔伯特空间波算子 $W_\pm(H_2,H_1;J_{1,2})$ 与 $W_\pm(H_2,H_1;\tilde{J}_{1,2})$ 的相等性，其方法是证明 $J_{1,2}-\tilde{J}_{1,2}$ 在 Kato 意义下是渐近 $H_1$-等价的。结果表明，在黎曼流形和加权无限图的典型情形中，若完备性 $W_\pm(H_2,H_1;\tilde{J}_{1,2})$ 存在（从而后验地 $W_\pm(H_2,H_1;J_{1,2})$ 也存在），则该准则自动满足。