多重集的渐近计数与极限律:次指数情形

对给定组合类 $\mathcal{C}$,我们研究满足多重集构造的类 $\mathcal{G} = \mathrm{MSET}(\mathcal{C})$,即 $\mathcal{G}$ 中任一对象由一组 $\mathcal{C}$-对象及其重数唯一确定。例如,$\mathrm{MSET}(\mathbb{N})$ (同构于) 正整数分拆类,这是一个显著且被充分研究的情形。多重集构造自然出现于无标号对象的研究中,例如图或与整数分拆相关的各种结构。我们的主要结果确立了集合 $\mathcal{G}_{n,N}$ 的渐近大小,该集合包含 $\mathcal{G}$ 中所有大小为 $n$ 且由 $N$ 个来自 $\mathcal{C}$ 的对象构成的多重集,当 $n$ \emph{与} $N$ 趋于无穷且 $\mathcal{C}$ 的计数序列受次指数增长支配时;这是组合应用中尤其重要的一个设定。此外,我们研究 $\mathcal{G}_{n,N}$ 中随机对象的分量分布,并发现一种我们命名为 \emph{极端凝聚} 的现象:取走最大分量以及所有最小可能大小的分量后,剩下一个对象在 $n,N\to\infty$ 时依分布收敛。极限对象的分布亦被求得。而且相当令人惊讶地,与有标号对象的类似结果形成鲜明对比,此处结果对 $N$ 一致成立。