Aldous八卦过程的渐近行为

Aldous [(2007) Preprint]定义了一个八卦过程，其中空间是离散的$N\times N$环面，过程在时间$t$的状态是知道信息的个体集合。信息以速率1/4从一点传播到其最近邻，并以速率$N^{-\alpha}$传播到环面上随机选取的一点。我们关注$\alpha<3$的情况，此时长程传输显著加速了所有人知道信息的时间。我们在实环面上的一个略微简化模型中证明了三个精确描述信息传播的结果。所有人知道信息的时间渐近为$T=(2-2\alpha/3)N^{\alpha/3}\log N$。如果$\rho_s$是在时间$s$知道信息的人口比例，且$\varepsilon$很小，那么对于大$N$，$\rho_s$达到$\varepsilon$的时间为$T(\varepsilon)\approx T+N^{\alpha/3}\log (3\varepsilon /M)$，其中$M$是由信息早期传播决定的一个随机变量。在时间$s=T(1/3)+tN^{\alpha/3}$时$\rho_s$的值几乎是一个确定性函数$h(t)$，它满足一个形式奇特的积分微分方程。最后一个结果证实了Aldous的一个启发式计算。