稀疏移动网络中信息传播的紧界

受移动系统日益增长的兴趣的驱动，我们研究了在平面上独立移动的智能体之间信息传播的动态过程。形式上，我们考虑 $k$ 个移动智能体在一个 $n$ 节点网格上执行独立的随机游走。在时间 $0$ 时，每个智能体位于网格的一个随机节点上，并且其中一个智能体拥有一个谣言。谣言的传播由一个动态通信图过程 ${G_t(r) | t \geq 0}$ 控制，其中两个智能体在 $G_t(r)$ 中由一条边连接当且仅当它们在时间 $t$ 的距离在其传输半径 $r$ 内。为了模拟无线电传输速度远快于智能体运动速度的物理现实，我们假设谣言可以在 $G_t$ 因运动而改变之前，传播到 $G_t$ 的一个连通分量中。我们研究系统的广播时间 $T_B$，即所有智能体都知道谣言所需的时间。我们关注稀疏情况（低于渗流阈值 $r_c \approx \sqrt{n/k}$），在这种情况下，以高概率，$G_t$ 中没有连通分量包含超过对数数量的智能体，并且广播时间主要由许多独立随机游走相互会合所需的时间决定。令人惊讶的是，我们证明，对于低于渗流阈值的系统，广播时间不依赖于移动速度与传输半径之间的关系。事实上，我们证明对于任何 $0 \leq r < r_c$，$T_B = \tilde{O}(n / \sqrt{k})$，即使传输范围明显大于一步中的移动范围，这给出了直到对数因子的紧刻画。我们的结果补充了 Peres 等人 (SODA 2011) 的最新结果，他们证明了在渗流阈值以上，广播时间是 $k$ 的多对数函数。