三次与超三次分拆对的算术性质

令 $b(n)$ 表示 $n$ 的三次分拆对(cubic partition pairs)的个数。我们肯定地回答了 Lin 的一个猜想，即证明 $$b(49n+37)\equiv 0 \pmod{49}.$$ 我们还证明了由 $\overline{b}(n)$（$n$ 的超三次分拆对(overcubic partition pairs)的个数）满足的两个模 $256$ 同余式。令 $\overline{a}(n)$ 表示 $n$ 的超三次分拆(overcubic partition)的个数。对固定的正整数 $k$，我们进一步证明对几乎所有 $n$，$\overline{b}(n)$ 与 $\overline{a}(n)$ 均可被 $2^k$ 整除。我们使用模形式的算术性质来证明我们的结果。