划分为少量部分尺寸的分割数

我们研究了 $\nu_k(n)$，即将 $n$ 划分为 $k$ 种部分尺寸的分割数，并发现了许多算术级数，其中 $\nu_2$ 和 $\nu_3$ 的取值可被 2 和 4 整除。扩展早期工作，我们证明了对于 (A,B) = (36,30), (72,42), (252,114), (196,70)，有 $\nu_2(An+B) \equiv 0 \pmod{4}$，且我们的方法可能很容易推广到许多其他级数。具有一定独立意义的是，我们证明了超分割函数 $\bar{p}(n) \equiv 0 \pmod{16}$ 在前三个级数中成立（第四个已知），从而表明 $\nu_3(An+B) \equiv 0 \pmod{2}$ 在这些级数中也都成立，并更一般地讨论了这些同余式之间的关系。最后提出了该领域的开放性问题。