有限域乘积集中的等差数列与等比数列

给定有限域 $\F_q$（含 $q$ 个元素）的两个子集 $\cA, \cB \subseteq \F_q$，我们证明了只要 $k<p$（其中 $p$ 是 $\F_q$ 的特征）且 # \cA # \cB \ge 3q^{2d-2/k}，乘积集 $$\cA\cB = \{ab | a \in \cA, b \in\cB\}$$ 就包含长度为 $k \ge 3$ 的等差数列。我们还考虑了平移乘积集 $\cA\cB +h$（其中 $f \in \F_q$）中的等比数列，并获得了类似的结果。