实直线上波包的逼近

本文比较了 $\mathrm{L}_2(\mathbb{R})$ 中三种不同的正交系统,它们可用于构造求解实直线上半经典缩放含时 Schr\"odinger 方程的谱方法,具体而言为拉伸 Fourier 函数、Hermite 函数和 Malmquist--Takenaka 函数。三者均具有带状斜厄米微分矩阵,这极大简化了它们在谱方法中的实现,同时确保数值解为单位元——这对于尊重量子力学中的 Born 解释至关重要,并且作为副产物确保了关于 $\mathrm{L}_2(\mathbb{R})$ 范数的数值稳定性。我们推导了波包在各基下系数的渐近逼近,其在高频 regime 下极为精确。我们表明,在实用意义上,Malmquist--Takenaka 基优于更常用的 Hermite 函数和拉伸 Fourier 展开来逼近波包。