具有尖锐需求的收益最大化问题近似算法

我们研究具有尖锐多重需求 (sharp multi-demand) 的收益最大化问题，其中需将 $m$ 个不可分割物品出售给 $n$ 个潜在买家。每个买家 $i$ 恰好需要获得 $d_i$ 个物品，且每个物品 $j$ 给买家 $i$ 带来效益 $v_{ij}$。我们区分不相关估值与相关估值两种情况：在前者中，效益 $v_{ij}$ 完全任意；而在后者中，每个物品 $j$ 具有质量 $q_j$，每个买家 $i$ 具有价值 $v_i$，效益 $v_{ij}$ 定义为乘积 $v_i q_j$。该问题旨在确定每个物品的价格以及向买家分配物品束的方案，以最大化总收益，即所有售出物品价格之和。分配必须是无嫉妒的 (envy-free)，即每个买家对其被分配的束感到满意且无法通过改变分配提高其效用。我们首先证明，对于相关估值，除非 {\sf P} = {\sf NP}，否则该问题无法在 $O(m^{1-\epsilon})$ 因子内得到近似（对任意 $\epsilon>0$），且该结果是渐近紧的。事实上，即使对于不相关估值，我们也提供了一个简单的 $m$-近似算法。随后，我们关注一类有趣的“适当”(proper) 实例子类，这类实例不包含那些先验已知无法获得任何物品的买家。针对此类实例，我们设计了一种有趣的 $2$-近似算法，并表明除非 {\sf P} $=$ {\sf NP}，否则对任意 $0<\epsilon\leq 1$ 都不可能存在 $(2-\epsilon)$-近似。我们指出，可以有效检查一个实例是否为适当实例；若允许剔除无用买家，则可在多项式时间内将任意实例转化为适当实例，且不会降低其最优解的值。