通过嵌入变形求解广义相对论中的近似解

本文系统研究了嵌入于高维伪欧几里得空间 $E^N$ 中的四维爱因斯坦时空的变形。作为 $E^N$ 中的矢量场，无穷小变形可分为两部分：切于嵌入超曲面的部分和正交于该超曲面的部分；只有后者是相关的，前者等价于嵌入流形中的坐标变换。随后，几何量可用嵌入函数 $z^A$ 及其无穷小变形 $v^A$（即 $z^A \to {\tilde{z}}^A = z^A + \epsilon v^A$）来表示。若变形使爱因斯坦方程在 $\epsilon$ 的给定阶数内仍然成立，则称其为爱因斯坦变形。本文特别分析了以史瓦西度规 (Schwarzschild metric) 为起点的情形，并找到了爱因斯坦方程一阶变形的一些解。我们还讨论了导致类波解以及从球对称偏离至轴对称（即近似克尔解 (approximate Kerr solution)）的二阶和三阶变形。