逼近 Sinh-Gordon 模型的自对偶点

sinh-Gordon 模型(ShG)最显著却最神秘的性质之一是其 $S$-矩阵的 $b \rightarrow 1/b$ 自对偶性,在其拉格朗日表述中毫无踪迹。这里 $b$ 是出现在模型同名双曲余弦 $\cosh(b\phi)$(位于其拉格朗日量中)的耦合常数。本文我们发展截断谱方法(TSMs)来研究有限体积下随耦合常数变化的 sinh-Gordon 模型。我们对 $b \ll 1$ 和中间值 $b$ 得到了预期结果,但当逼近自对偶点 $b=1$ 时,将 TSM 基本应用于 ShG 会失效。我们发现 TSM 给出的结果具有强烈的截断 $E_c$ 依赖性,且仅按 $E_c$ 的极慢幂律消失。标准重整化群策略——无论数值还是解析——也未能在此改善状况。因此我们探索三种策略以解决 TSM 在 $b=1$ 附近的固有局限。第一种中,我们聚焦于小体积谱。我们尝试理解 ShG 的多少物理被编码于其哈密顿量的零模部分,即该问题在多大程度上是“量子力学”而非“量子场论”的。第二种中,我们识别微扰论中存在的发散,并使用超 Borel 近似进行其重整求和。第三种方法中,我们利用模型的精确形状因子将某一 $b$ 值处的 ShG 视为不同耦合下 ShG 的微扰。鉴于此工作,我们论证模型拉格朗日表述的强耦合相 $b > 1$ 可能不同于从其 $S$-矩阵朴素推断的结果。特别地,我们给出该理论在 $b>1$ 时无质量的论证。