对 Kolmogorov 一个问题的回答

80 多年前，Kolmogorov 提出了以下问题：设 $E\subseteq \mathbb{R}^{2}$ 是一个满足 $\lambda^{2}(E)<\infty$ 的可测集，其中 $\lambda^2$ 表示二维 Lebesgue 测度。对于任意 $\varepsilon>0$，是否存在一个压缩映射 $f\colon E\to \mathbb{R}^{2}$，使得 $\lambda^{2}(f(E))\geq \lambda^{2}(E)-\varepsilon$ 且 $f(E)$ 是一个多边形？我们通过构造一个有界单连通开集反例对该问题给出了否定回答。我们的构造可以容易地修改以在高维空间中得出类似结果。