大$n$下第$n$个爱因斯坦环的角位置

我们进行了匹配渐近展开，以寻找史瓦西度规中光线轨迹的解析公式，该公式以碰撞参数偏离其临界值的幂级数展开给出。我们给出了在此展开中至次次主导阶（second sub leading order）有效的结果。我们利用这些结果，针对一颗恰位于黑洞正后方但不一定距其很远的恒星，找到了其产生的第$n$个爱因斯坦环（大$n$下）角位置的解析展开。该展开的小参数为$e^{-\pi (2n+1)}$：我们的公式在该参数的三阶内是准确的。