具有长程相互作用的单频准周期块算子的 Anderson 局域化

本文研究准周期算子 $H_{\epsilon,\omega}(x)$： $$(H_{\epsilon,\omega}(x)\vec{\psi})_n=\epsilon\sum_{k\in\mathbb{Z}}W_k\vec{\psi}_{n-k}+V(x+n\omega)\vec{\psi}_n,$$ 其中 $$\vec{\psi}=\{\vec{\psi}_n\}\in\ell^2(\mathbb{Z},\mathbb{C}^l),\ V(x)=\text{diag}\left(v_1(x),\cdots,v_l(x)\right)$$ 且 $v_i$（$1\leq i \leq l$）为 $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上的实解析函数，$W_k$（$k\in\mathbb{Z}$）为满足 $\|W_k\|\leq C_0e^{-\rho|k|}$ 的 $l\times l$ 矩阵。利用 Bourgain 与 Goldstein [\textit{{Ann. of Math. 152(3):835--879, 2000}}] 发展的技术，我们证明对于 $|\epsilon|\leq \epsilon_{0}(V,\rho,l,C_0)$（仅依赖于 $V,\rho, l, C_0$）与 $x\in \mathbb{R}/\mathbb{Z}$，在 Diophantine 频率中存在一个满 Lebesgue 测度子集 $\mathcal{F}$，使得当 $\omega\in \mathcal{F}$ 时 $H_{\epsilon,\omega}(x)$ 呈现 Anderson 局域化。