相似扁球坐标系的解析解

为恰当建模从大气动力学直至星系中恒星运动等各种尺度上的广泛物理问题，需要对引力势与重力势给出令人满意的描述。在某些情况下，相似扁球(SOS)坐标系可为此类建模任务带来便利，主要适用于扁球状天体（行星、恒星、星系）内部或其邻近区域。尽管SOS系统的相关表达式无法以闭式写出，但可推导为解析表达式——收敛的无穷幂级数。本文以带广义二项式系数的无穷幂级数形式，推导了笛卡尔坐标关于曲线相似扁球坐标的显式解析表达式。相应偏导数以合适形式求得，进而可推导微分运算所需的度量尺度因子。动量方程速度平流项中含度量尺度因子导数的项在SOS坐标系下得以表达。雅可比行列式亦被推导得出。所给出的SOS坐标系解析解是一种适用于广泛具有类似扁球体密度、重力或引力水平天体的工具。此类天体涵盖从小扁率体（首推地球本身）、椭圆星系，直至如盘状星系般显著扁平的天体。