时谐弹性成像中本构方程误差方法的分析

我们考虑在时谐弹性动力学背景下异质线性弹性模量的识别问题。该反问题被表述为修正本构方程误差（MECE）的最小化，这是一种基于能量的代价泛函，定义为本构方程误差（ECE）$\mathcal{E}$（用能量半范数表示）与包含运动学测量的二次误差项 $\mathcal{D}$ 的加权加性组合 $\mathcal{E}+\kappa\mathcal{D}$。基于 MECE 的识别从现有计算证据已知具有诸如改善的凸性、对共振频率的鲁棒性以及对不完全指定边界条件（BCs）的容忍性等吸引人的性质。本工作的主要目标是在连续设定下发展理论基础，以解释并论证上述部分有益性质，特别是处理 BCs 可能欠指定的一般情况。MECE 公式的一个特定特征是前向与伴随解由一个完全耦合系统支配，其数学性质在 MECE 最小化的定性与计算方面起着根本作用。我们证明该系统在任意频率下都有唯一且稳定的解，只要数据足够丰富（在文中明确的意义上）以至少补偿 BCs 上任何缺失的信息。因此，我们的公式在此类情形下导出一个良定义的解，即便相关的前向问题并非 \emph{先验} 明确定义。该结果具有实际意义，例如 MECE 对部分内部数据的适用性（具有重要实际应用包括超声弹性成像）、有限元离散化的收敛性以及约化 MECE 泛函的可微性。此外，我们确立通常的最小二乘与纯 ECE 公式分别是 MECE 公式在 $\kappa$ 取小值与大值时的极限情形。对于后者（对应于运动学数据的精确强制），我们进一步证明约化 MECE Hessian 对于任意支撑于测量区域的参数扰动是渐近正定的，从而证实了关于 MECE 泛函带来凸性改善的现有计算证据。最后，给出了支撑并阐释我们理论发现的数值研究，包括一个使用内部数据的参数重建示例。