多维 Zakai 方程稀疏网格多层估计量的分析

在本文中，我们分析了用于多维 Zakai 型抛物型随机偏微分方程（SPDE）解的期望泛函的估计量的精度与计算复杂度。这里，我们对时间积分采用 Milstein 格式，对空间有限差分离散采用交替方向隐式（ADI）分裂，并结合稀疏网格组合技术与多层蒙特卡洛采样（MLMC）。在二维情形下，通过详细的傅里叶分析我们发现，对于均方根误差（RMSE）$\varepsilon$，稀疏网格上的 MLMC 具有最优复杂度 $O(\varepsilon^{-2})$，而正则网格上的 MLMC 为 $O(\varepsilon^{-2}(\log\varepsilon)^2)$，稀疏网格上的标准 MC 为 $O(\varepsilon^{-7/2}(|\log\varepsilon|)^{5/2})$，正则网格上的 MC 为 $O(\varepsilon^{-4})$。数值试验在经验上证实了这些发现。我们对高维情形进行了讨论但未给出详细证明，这表明稀疏网格上的 MLMC 总是导致最优复杂度，稀疏网格上的标准 MC 具有独立于维度的固定复杂度阶（至多相差对数项），而正则网格上的 MLMC 与 MC 的代价随维度指数增长。