$\mathfrak{pgl}(a+1\vert b)\subset \mathfrak{vect}(a\vert b)$ 的 Bol 算子类比

Bol 算子（简称 Bols）是 1 维流形上加权密度空间之间在 $\mathfrak{pgl}(2)\simeq\mathfrak{sl}(2)$ 的射影作用下不变的差分算子。此处我们描述了 Bols 的类比：$\mathfrak{pgl}(a+1\vert b)$-不变的、在 $(a\vert b)$ 维超流形上张量场空间之间的差分算子，其纤维作为 $\mathfrak{gl}(a\vert b)$-模是不可约的，且具有任意甚至无限维，针对某些“关键”的 $a$ 与 $b$ 值——即解可被描述的情形。我们发现了许多新的算子，对应 $(a|b)=(2|0), (0|3)$ 以及 $1\vert 1$ 维一般超弦的情形，后者看似为 Bol 结果最自然的超化，此外还有我们在 arXiv:2110.10504 中分类的具有接触结构的 $1\vert n$ 维超弦上加权密度空间之间 Bols 超类比的情形。在纤维维数 $>1$ 的情形下，存在 $(a+b-1)$ 参族的 Bols，而加权密度空间之间不存在非标量非零差分算子。这两种极端答案证明了此处情形选择的合理性。