在低维查询模式下检索严重扰动统计数据库的 $\tilde{O}(\frac{1}{\sqrt{T}})$-误差在线算法

我们给出了第一个 $\tilde{O}(\frac{1}{\sqrt{T}})$-误差在线算法，用于重建含噪统计数据库，其中 $T$ 是（在线）样本查询的数量。该算法仅需 $O(\log T)$ 内存，旨在学习一个隐藏的数据库向量 $w^{*} \in \mathbb{R}^{D}$，以准确回答来自未知分布 $\mathcal{D}$ 的在线查询流。我们假设分布 $\mathcal{D}$ 定义在低维流形的邻域上。所提出的算法每次查询的运行时间为 $O(dD)$，其中 $d$ 是查询空间的维数。与经典设定不同，算法没有单独的训练集用于学习数据库——用于评估算法的流也必须用于学习数据库向量。算法仅访问一个二元预言机 $\mathcal{O}$，该预言机回答数据库向量的某个线性函数加上随机噪声是否大于算法指定的阈值。我们注意到，与其他关注低噪声 $o(\sqrt{D})$ 设定的工作不同，我们允许添加显著的 $O(D)$ 量噪声。对于 $T$ 个查询的流，我们的算法通过滤除随机噪声、根据预言机的先前回答自适应调整阈值，从而以高精度恢复数据库向量 $w^{*}$ 在定义查询空间的流形上的投影，实现了平均误差 $\tilde{O}(\frac{1}{\sqrt{T}})$。