集成卡尔曼滤波的最优传输表述

受控相互作用粒子系统，如集成卡尔曼滤波（EnKF）与反馈粒子滤波（FPF），是用于在连续时间内近似非线性滤波问题解的数值算法。这些算法的显著特征在于利用反馈控制律实现贝叶斯更新步骤。文献中已指出该控制律并不唯一。这是本文所解决的主要问题。为获得唯一的控制律，此处将滤波问题表述为一个最优传输问题。在线性高斯设定下，推导了（平均场型）最优控制律的显式公式。并与文献中描述的不同类型 EnKF 算法的控制律进行了比较。通过对平均场控制律的经验近似，得到了有限-$N$ 受控相互作用粒子算法。针对该算法，推导了其经验均值与协方差的方程，并证明其与卡尔曼滤波完全相同。这使得基于卡尔曼滤波的经典滤波稳定性理论，能够对收敛性与误差性质得出有力结论。研究表明，在特定技术条件下，即便粒子数有限，均方误差（m.s.e.）也收敛于零。对该有限-$N$ 算法进行了详细的混沌传播分析。该分析用于证明当 $N\rightarrow\infty$ 时经验分布的弱收敛。针对某简化滤波问题，给出了均方误差与基于重要性采样算法的解析比较。该分析有助于解释近期文献中若干数值研究所报道的基于控制的算法良好的缩放性质。