关于Gabcke所述的 $\mathop{\mathcal R}(s)$ 的积分表示

Gabcke 证明了黎曼函数的一种新积分表达式\n\n$$\mathop{\mathcal R}(s)=2^{s/2}\pi^{s/2}e^{\pi i(s-1)/4}\int_{-\frac12\searrow\frac12} \frac{e^{-\pi i u^2/2+\pi i u}}{2i\cos\pi u}U(s-\tfrac12,\sqrt{2\pi}e^{\pi i/4}u)\,du,$$\n\n其中 $U(\nu,z)$ 为常规的抛物柱函数。我们给出一种新的、更简洁的证明，避免使用莫尔塔尔积分。我们还将其写成形式\n\n\[\begin{equation}\mathop{\mathcal R}(s)=-2^s \pi^{s/2}e^{\pi i s/4}\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-\pi x^2}H_{-s}(x\sqrt{\pi})}{1+e^{-2\pi\omega x}}\,dx.\end{equation}\n\n其中 $H_\nu(z)$ 为广义Hermite多项式。