用于求解变域非线性椭圆方程的改进自适应正交基分解方法

多个解在各种非凸问题中常见于工业和科学计算中。尽管如此，关于非平凡解的定性特性了解仍有限，这部分原因在于缺乏有效且可靠的数值方法。在本文中，我们设计了一个专门的数值方法来进一步探索这些非平凡解。我们首先通过将自适应正交基方法与二分-分解算法相结合，设计了一个改进的自适应正交基分解方法。随后，我们将所提出的新方法应用于研究特定非线性椭圆方程在域变化下的多个解的影响。当域从圆盘变为椭圆盘时，对于某些特定解，其对应的函数值会发生显著变化，这表明圆域中的这些非平凡解在椭圆域中可能不稳定。此外，验证了现有文献中关于多个解的几个理论结果。对于参数为 $\lambda$ 的非线性正弛方程，发现当 $\lambda > \lambda_2$ 时存在非平凡解，其中 $\lambda_2$ 是相应线性特征值问题的第二个特征值。对于奇异扰动的 Ginzburg-Landau 方程，发现高度集中解，这表明当扰动参数趋于零时，其收敛极限是 Dirac δ 函数。