可积方程代数几何解的数值计算研究

某些可积偏微分方程的具有物理意义的周期解，由与实黎曼曲面相关的多维 theta 函数给出。本文研究了这些解在数值计算中的典型分析问题。在超椭圆曲面情形下，即使对于几乎退化的曲面也存在高效算法，这使得对孤子极限的数值研究成为可能。对于一般的实黎曼曲面，选择与反全纯对合相适应的同调基对于解的方便表述及光滑性条件至关重要。由于现有的代数曲线算法产生的同调基与曲线的自同构无关，我们研究了到适配基的辛变换，并给出了 M-曲线的显式公式。作为例子，我们讨论了 Davey-Stewartson 方程和多分量非线性薛定谔方程的解。