一个受拉马努金惊人恒等式启发的恒等式

拉马努金陈述了一个恒等式，大意是若三个序列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 和 $\{c_n\}$ 由 $r_1(x)=:\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$、$r_2(x)=:\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n$ 和 $r_3(x)=:\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n$ 定义（此处每个 $r_i(x)$ 是 $x$ 的某个有理函数），则 $$a_n^3+b_n^3-c_n^3=(-1)^n, \hspace{25pt} \forall \,n \geq 0.$$ 受此惊人恒等式启发，我们陈述并证明了一个涉及十一个序列的更一般的恒等式，该新恒等式之“更一般”在于等式不仅对幂次 3 成立（如拉马努金恒等式中那样），而且对每一幂次 $j$，$1\leq j \leq 5$ 均成立。