用于三次图正常四着色计数的FPTAS

图着色可以说是近似计数领域中被研究得最透彻的问题。据推测，只要 $q \geq \Delta + 1$（其中 $q$ 为颜色数，$\Delta$ 为图的最大度），就存在用于计数正常着色数量的完全多项式时间（随机）近似方案（FPTAS/FPRAS）。$q = \Delta + 1$ 是 $\Delta$-正则无限树上吉布斯测度的唯一性阈值。然而，即使对于任一固定的 $\Delta\geq 3$（$\Delta=1,2$ 的情况平凡），该猜想仍悬而未决。在本文中，我们设计了一个用于计数最大度数为 $3$ 的图上正常 $4$-着色数量的 FPTAS，从而证实了 $\Delta=3$ 时的猜想。这是首次达到 $q = \Delta + 1$ 这一最优界。此前，最佳的 FPRAS 要求 $q > \frac{11}{6} \Delta$，而最佳的确定性 FPTAS 要求对于一般图有 $q > 2.581\Delta + 1$。在 $\Delta=3$ 的情况下，先前最好的结果是用于计数正常 5-着色的 FPRAS。我们注意到，基于单点 Glauber 动态的 FPRAS 在超越 $q = \Delta + 2$ 时存在障碍，而我们通过对相关衰减方法克服了这一点。此外，我们为相关衰减方法开发了一些新技术，可应用于其他近似计数问题。