线性秩宽 -1 顶点删除问题的 FPT 算法与多项式核

线性秩宽是 Oum 和 Seymour [Approximating clique-width and branch-width. J. Combin. Theory Ser. B, 96(4):514--528, 2006] 引入的秩宽的线性化变体。受近期关于有界树宽或路径宽图类的图修改问题发展的启发，我们研究了线性秩宽 -1 顶点删除问题（简称 LRW1-Vertex Deletion）。在 LRW1-Vertex Deletion 问题中，给定一个 $n$ 顶点图 $G$ 和一个正整数 $k$，我们要判断是否存在一个大小至多为 $k$ 的顶点集，其移除能将 $G$ 转变为线性秩宽至多为 1 的图，并在存在时找出这样的顶点集。虽然 Courcelle、Makowsky 和 Rotics 的元定理暗示 LRW1-Vertex Deletion 可在时间 $f(k)\cdot n^3$ 内求解（对于某个函数 $f$），但该问题是否允许具有适度指数函数的运行时间尚不清楚。我们首先确立 LRW1-Vertex Deletion 可在时间 $8^k\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$ 内求解。实现这一目标的主要障碍是如何处理作为阻碍的长诱导圈。为解决此问题，我们定义了项链图（necklace graphs）并研究了其结构性质。随后，我们通过基于图的团宽表达式细化平凡分支步骤，降低了多项式因子，获得了一个运行时间为 $2^{\mathcal{O}(k)}\cdot n^4$ 的算法。我们还证明，在指数时间假设（Exponential Time Hypothesis）下，运行时间无法改进为 $2^{o(k)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$。最后，我们展示了 LRW1-Vertex Deletion 问题 admits 一个多项式核。