Riesz 变换的一个推广

本文考虑如下奇异积分 \begin{equation*} T_jf(x)=K_j*f(x), K_j(x)=\frac{x_j}{|x|^{n+1-\beta}}, \end{equation*} 其中 $x\in R^n, 0\le \beta<n, j=1,2,\cdots, n$。当 $\beta=0$ 时，它对应于 Riesz 变换。我们将对 $T_jf$ 的 $L^q (1<q<\infty)$ 范数进行估计，该估计对 $0\le\beta<\frac{n(q-1)}{q}$ 一致成立。特别地，当 $\beta=0$ 时，由所得估计可恢复 Riesz 变换在 $1<q<\infty$ 时的强 $(q,q)$ 型估计。