一个更简单的Not-All-Equal 3-SAT困难变体

我们证明，当限制在同时满足以下性质的实例时，Not-All-Equal 3-Sat仍然是NP完全的：(i) 子句被表示为变量集划分为大小为3的子集的k个分拆的不交并，对于任意固定的$k \geq 4$，以及(ii) 每对不同的子句至多共享一个变量。性质(i)意味着每个变量恰好出现在$k$个子句中，并且每个子句恰好由3个非否定变量组成。由此，我们改进了我们之前的结果（Darmann and D"ocker, 2020）。作为对至少4个分拆的困难结果的补充，我们证明对于$k\leq 3$，相应的判定问题属于P。特别地，对于$k\in \{1,2\}$，所有满足性质(i)的实例都是nae-可满足的。根据Not-All-Equal 3-Sat与超图着色之间众所周知的对应关系，我们从结果中得到以下推论：对于$k\geq 4$，即使边被分解为$k$个完美匹配，线性3-一致$k$-正则超图的双色性问题也是NP完全的；在相同限制下，对于$k \leq 3$，双色性问题属于P，并且对于$k \in \{1,2\}$，所有此类超图都是双可着色的。最后，我们从Pilz（Pilz, 2019）工作中的构造推断出，每个具有平面关联图且每个子句至少包含三个不同变量的Positive Planar Not-All-Equal Sat实例都是nae-可满足的。因此，当限制为具有平面关联图的实例时，上述Not-All-Equal 3-Sat的每个变体都变成了一个平凡的判定问题。