求解对称正定线性方程组的共轭梯度预处理器实证研究
数值分析
2025-05-28 v1 数值分析
摘要
尽管已有数百篇关于预条件线性方程组的论文，但在比较各种预处理器以求解对称正定（SPD）系统方面，仍然严重缺乏全面的性能基准测试。在本文中，我们使用广泛的预处理器对79个矩阵进行了比较研究。具体来说，我们评估了10种广泛使用的预处理器在108种配置下的表现，以评估它们相对于不使用预处理器的相对性能。我们的重点是那些在实践中常用、在主要软件包中可用，并且可以作为黑箱工具使用而无需大量先验知识的预处理器。此外，我们将这些预处理器与一系列经典方法进行了比较。我们的比较主要不考虑计算预处理器所需的努力。我们的结果表明，对称正定系统最有可能从不完全对称分解中受益，例如不完全Cholesky分解（IC）。多重网格方法偶尔表现异常出色。简单的经典技术，对称高斯-赛德尔和对称SOR，效果不佳。我们发现，包含预处理器构建成本会显著削弱迭代方法相对于直接求解器的优势；尽管如此，经过调优的IC方法通常仍优于直接方法。此外，诸如近似最小度等排序策略显著增强了IC的有效性。我们计划用更大的矩阵、额外的求解器和详细的指标来扩展基准测试，以提供关于SPD预处理的可行信息。
引用
@article{arxiv.2505.20696,
title = {An Empirical Study of Conjugate Gradient Preconditioners for Solving Symmetric Positive Definite Systems of Linear Equations},
author = {Marc A. Tunnell and David F. Gleich},
journal= {arXiv preprint arXiv:2505.20696},
year = {2025}
}