一种用于高维凸复合锥规划的高效基于不精确对称高斯-赛德尔的主要化ADMM方法

在本文中，我们提出一种不精确多块ADMM型一阶方法，用于以中等精度求解一类高维凸复合锥优化问题。该方法的设计结合了一个不精确2块主要化半近端ADMM以及在不精确对称高斯-赛德尔（sGS）技术上的最新进展，用于求解多块凸复合二次规划，其目标函数包含仅涉及第一块变量的非光滑项。我们提出的方法（sGS-imsPADMM）的一个显著特征是，它仅需一个不精确sGS方法的循环，而非未知数量的循环，来求解所涉及的每个子问题。借助一些简单且可实现的误差容限准则，求解子问题的代价可大幅降低，并且每个sGS循环的前向扫描中的许多步骤常可跳过，这进一步提升了所提方法的效率。我们建立了全局收敛性以及非遍历意义下的迭代复杂度。还给出了在一些具有大量线性等式与不等式约束的高维线性和凸二次SDP问题上的初步数值实验。结果表明，对于绝大多数测试问题，sGS-imsPADMM比直接扩展的多块ADMM（采用激进步长1.618）快2到3倍，后者虽收敛性无法保证，但当前是求解多块线性和二次SDP问题的一阶方法中的基准。