Hermite-Minkowski 定理的自守推广

我们证明对任意整数 $N$，在 $\mathbb{Q}$ 上的 ${\rm GL}_n$ 中，随 $n$ 变化且导子为 $N$、权落在区间 $\{0,1,...,23\}$ 内的尖点代数自守表示只有有限多个。更一般地，我们定义一个简单序列 $(r(w))_{w \geq 0}$，使得对任意整数 $w$、根判别式小于 $r(w)$ 的任意数域 $E$ 以及 $E$ 整数环中的任意理想 $N$，在 $E$ 上的一般线性群中导子为 $N$、权落于区间 $\{0,1,...,w\}$ 的尖点代数自守表示只有有限多个。在假设一个版本的 GRH 下，我们还证明可在该陈述中将 $r(w)$ 替换为 $8 \pi e^{\gamma-H_w}$，其中 $\gamma$ 为欧拉常数、$H_w$ 为第 $w$ 个调和数。证明基于在研究 Rankin-Selberg $L$-函数的 Weil 显式公式时所出现的某些实二次型的新正性性质。我们讨论了方法的有效性与最优性。