Pearson 相关系数统计量的渐近最优变换

本文表明，对于任意相关参数化的依赖模型以及任意给定显著性水平 $\alpha\in(0,1)$，都存在一个 Pearson 相关系数统计量 $R$ 的渐近最优变换，使得正态近似的一般主导误差项对所有相关系数取值 $\rho\in(-1,1)$ 均消失。随后将该一般结果应用于二元正态(BVN)依赖模型以及本文所称的 SquareV 模型。在 BVN 模型中，Pearson 的 $R$ 在某个相当不寻常的显著性水平 $\alpha\approx0.240$ 下是渐近最优的，而 Fisher 对 $R$ 的变换 $R_F$ 在极限显著性水平 $\alpha=0$ 下是渐近最优的。在 SquareV 模型中，Pearson 的 $R$ 在仍相当高的显著性水平 $\alpha\approx0.159$ 下是渐近最优的，而 Fisher 对 $R$ 的变换 $R_F$ 对任意 $\alpha\in[0,1]$ 均不是渐近最优的。此外，研究表明在 BVN 模型和 SquareV 模型中，对给定 $\alpha$ 值最优的变换事实上在包括 $\alpha$ 本身在内的较宽显著性水平范围内都渐近优于 $R$ 和 $R_F$。文中给出了针对 BVN 和 SquareV 依赖模型的大量计算机模拟，结果表明对于样本量 $n\ge100$ 且显著性水平 $\alpha\in\{0.01,0.05\}$，上述 $R$ 的渐近最优变换通常优于 Pearson 的 $R$ 和 Fisher 对 $R$ 的变换 $R_F$，而后者在 SquareV 模型中通常远劣于 $R$ 和该渐近最优变换。