同余子群的逼近原理

本文的动机问题大致如下：给定 $\mathbb{Z}_p$ 上的群概型 $G$（$p$ 为素数），其一般纤维 $G_{\mathbb{Q}_p}$ 为半单的，$G(\mathbb{Z}_p)$ 的开子群与形如 $X(\mathbb{Z}_p)\mathbf{K}_p(p^n)$ 的子群相距多远？其中 $X$ 是 $G$ 的子群概型，$\mathbf{K}_p(p^n)$ 是主同余子群 $\operatorname{Ker} (G(\mathbb{Z}_p)\rightarrow G(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}))$。更确切地说，我们将证明对于单连通的 $G_{\mathbb{Q}_p}$，存在仅依赖于 $G$ 的常数 $J\ge1$ 和 $\varepsilon>0$，使得 $G (\mathbb{Z}_p)$ 的任何 $p^n$ 级开子群都包含一个指数 $\le J$ 的开子群，该子群包含在 $X(\mathbb{Z}_p)\mathbf{K}_p(p^{\lceil \varepsilon n\rceil})$ 中，其中 $X$ 是定义在 $\mathbb{Q}_p$ 上的 $G$ 的某个真连通代数子群。此外，如果 $G$ 定义在 $\mathbb{Z}$ 上，则 $\varepsilon$ 和 $J$ 可以取为与 $p$ 无关。我们还给出了 $\mathfrak{g}_{\mathbb{Z}_p}$ 的 $\mathbb{Z}_p$-李代数的自然类与 $G(\mathbb{Z}_p)$ 的闭子群类之间的一一对应，这可被视为 Nori 关于大 $p$ 时 $\operatorname{GL}(N_0,\mathbb{F}_p)$ 有限子群结构结果在 $\mathbb{Z}_p$ 上的变体。作为一个应用，我们对定义在 $\mathbb{Z}$ 上的群 $G (\hat{\mathbb{Z}}) = \prod_p G (\mathbb{Z}_p)$ 中共轭类与任意开子群交集的体积给出了一个界。在后续论文中，此结果将应用于算术格 $G (\mathbb{Z})$ 的任意同余子群的极限重数问题。