求解偏微分方程的无导数损失方法分析

本研究分析了使用神经网络求解某类椭圆型偏微分方程与流体问题的无导数损失方法。该方法利用 Feynman-Kac 公式，结合随机游走粒子及其平均值。我们考察了与 Feynman-Kac 表示相关的时间区间以及游走粒子规模如何影响计算效率、可训练性与采样误差。我们的分析表明，训练损失偏差与时间区间和神经网络的空间梯度成正比，而与游走粒子规模成反比。此外，我们证明时间区间必须足够长以实现有效训练。这些结果表明，只要满足由时间区间确定的最优下界，游走粒子规模可尽可能取小。最后，我们给出了支持理论发现的数值实验。