偶维空间中多项式可积体的类比

有界域 $K \subset \mathbb R^n$ 称为多项式可积的，如果 $K$ 与超平面 $\Pi$ 的交的 $(n-1)$ 维体积多项式地依赖于 $\Pi$ 到原点的距离。文献 [7] 证明了若 $n$ 为偶数则不存在具有光滑边界的此类域，若 $n$ 为奇数则具有光滑边界的唯一多项式可积域为椭球。本文中，我们针对偶数 $n$ 修正多项式可积的概念，并考虑这样的体：其截面体积函数是一个多项式乘以一个二次多项式平方根的因子，或者等价地，该函数的希尔伯特变换是一个多项式。我们证明偶维椭球是满足此性质的唯一凸无穷光滑体。