团函数指数单调复杂性的另一种证明

1985 年，Razborov 发现了一种证明，表明团问题的单调电路复杂度是超多项式的。Alon 和 Boppana 将该结果改进为指数下界 exp(\Omega(n / \log n)^{1/3})，用于计算大小为 (1/4) (n / log n)^{2/3} 的团的单调电路 C，其中 n 为图中的顶点数。这两种证明均基于逼近法以及 Erdos 和 Rado 的向日葵引理。学界对进一步推广该证明方案一直抱有浓厚兴趣。在本文中，我们提出了一种展示指数单调复杂性的新方法。与标准方法不同，该方法动态地构造反例：假设存在一个计算 k-团 c 的次指数规模单调电路 C，则算法可在 C 根节点处构造的析取范式中找到一个不包含 c 的边集 t。我们将这样的 t 称为移位（shift）。证明表明 t 与边集 z 不相交，而移除 z 后将不再存在 k-团。我们探讨了布尔电路计算的集合论本质，通过研究汉明空间 2^{[n]}（其中 [n]={1, 2, ..., n}）的拓扑性质发展了一套理论。我们提出了一个结构定理，该定理与向日葵引理密切相关，并在大多数情况下提出了更强的结论。该理论为上述移位方法奠定了基础。它还表明，在集合族中存在具有小核的向日葵，而这并非向日葵引理的显然推论。最后，我们指出，由于 t 和 z 的动态选择，这一新方法具有应用于计算团的一般电路并改进 Alon-Boppana 界 exp(\Omega(n / \log n)^{1/3}) 的潜力。