带局部预言机的单调电路与团下界

我们研究带局部预言机的单调电路[K., 2016]，即包含额外输入$y_i = y_i(\vec{x})$的电路，这些输入可对输入串$\vec{x}$执行非结构化计算。令$\mu \in [0,1]$为电路的局部性，该参数限制了预言函数$y_i(\vec{x})$的综合强度，且$U_{n,k}, V_{n,k} \subseteq \{0,1\}^m$分别为$k$-团和完全$(k-1)$-部图的集合（类似于[Razborov, 1985]）。我们的结果可非正式表述如下。1. 对于带局部预言机的深度-$2$单调电路的适当扩展，我们表明分离$U_{n,3}$（三角形）和$V_{n,3}$（完全二部图）的最小电路尺寸随$\mu$经历两次相变。2. 对于$5 \leq k(n) \leq n^{1/4}$、任意深度和$\mu \leq 1/50$，我们证明在局部预言机门上的某种限制性假设下，分离集合$U_{n,k}$和$V_{n,k}$的单调电路尺寸复杂度为$n^{\Theta(\sqrt{k})}$。第二个结果涉及带受限预言机的单调电路，扩展并提供了对Alon和Boppana (1987)得到的$k$-团单调电路尺寸复杂度指数下界的匹配上界。