$\ell^{1}$ 与 $\ell^{q}$ 之间赋范插值空间的一种另类刻画

给定常数 $q\in(1,\infty)$，我们研究赋范序列空间 $E$ 的如下性质：===================== 若 $\left\{ x_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ 是 $E$ 中的元素，且 $\left\{ y_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ 是 $\ell^{q}$ 中的元素，满足 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|x_{n}\right|^{q}=\sum_{n=1}^\infty \left|y_{n}\right|^{q}$，并且这两个序列的非增重排对所有 $N\in\mathbb{N}$ 满足 $\sum_{n=1}^{N}\left|x_{n}^{*}\right|^{q}\le\sum_{n=1}^{N}\left|y_{n}^{*}\right|^{q}$，则 $\left\{ y_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\in E$ 且 $\left\Vert \left\{ y_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\right\Vert_{E}\le C\left\Vert \left\{ x_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\right\Vert_{E}$，其中常数 $C$ 仅依赖于 $E$。===================== 我们表明该性质非常接近于刻画 $\ell^{1}$ 与 $\ell^{q}$ 之间的赋范插值空间。更具体地，我们首先证明，对于每个关于偶对 $\left(\ell^{p},\ell^{q}\right)$（其中某 $p\in[1,q]$）的赋范插值空间，都具有上述性质。然后我们反过来证明，若 $E$ 具有上述性质，且还具有 Fatou 性质，并包含于 $\ell^{q}$ 中，则它是关于偶对 $\left(\ell^{1},\ell^{q}\right)$ 的赋范插值空间。这些结果是我们对 Galina Levitina、Fedor Sukochev 与 Dmitriy Zanin 在 arXiv:1703.04254v1 [math.OA] 中猜想的回应。