结合方案可扩展性的算法方法
组合数学
2012-10-01 v2 离散数学
摘要
与高度 t 预方案相关的结合方案被称为可扩展至高度 t。Smith (1994, 2007) 表明，阶数为 d:=|Q|的结合方案 X=(Q,\Gamma) 是 Schurian 的，当且仅当 X 可扩展至高度 (d-2)。在这项工作中，我们将结合方案 X 的最大高度 t_max(X) 形式化为使得 X 可扩展至高度 t 的最大正整数（我们也包含 t_max(X)=\infty的可能性，这等价于 t_max(X)\ge (d-2)）。直观地说，最大高度提供了一种自然的度量，用于衡量结合方案接近 Schurian 方案的程度。为了计算最大高度，我们引入了结合方案扩展算法。对于输入的结合方案 X=(Q,\Gamma)（阶数 d:=|Q|）和整数 t（满足 1\le t\le (d-2)），结合方案扩展算法能在 d^(O(t))时间内判定方案 X 是否可扩展至高度 t。特别是，如果 t 是固定常数，则结合方案扩展算法的运行时间关于 X 的阶数是多项式的。利用结合方案扩展算法，我们证明了所有阶数不超过 26 的非 Schurian 结合方案都是完全不可扩展的，即它们不可扩展至任何正高度。通过结合方案的张量积，后一结果产生了大量完全不可扩展结合方案的无限族示例。
引用
@article{arxiv.1209.6312,
title = {An Algorithmic Approach to the Extensibility of Association Schemes},
author = {Manuel Arora and Paul-Hermann Zieschang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1209.6312},
year = {2012}
}